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Origen del Método Monte Carlo
El método Monte Carlo proporciona soluciones numéricas a problemas que pueden describirse como la evolución temporal de objetos — en física médica, partículas cuánticas como fotones, electrones, neutrones y protones — interactuando con otros objetos según relaciones de sección eficaz. El método simula directamente la dinámica microscópica de un sistema, procesando aleatoriamente las reglas de interacción hasta que los resultados convergen a estimaciones confiables de medias y varianzas.
Guía completa de la serie: para ver el panorama general y los artículos relacionados, vuelve a la guía completa sobre Monte Carlo en radioterapia.
Los métodos de muestreo estocástico existían mucho antes de las computadoras. En 1777, el Conde de Buffon propuso un experimento que consistía en lanzar repetidamente una aguja sobre una hoja con líneas paralelas para determinar la probabilidad de cruce:
$$p = \frac{2L}{\pi d}$$
Donde:
- $p$ = probabilidad de que la aguja cruce una línea
- $L$ = longitud de la aguja
- $d$ = distancia entre líneas paralelas ($d > L$)
Laplace sugirió más tarde que este procedimiento podría usarse para determinar el valor de $\pi$, aunque de forma lenta. El verdadero impulso vino de Stan Ulam quien, recuperándose de una enfermedad, jugaba solitario repetidamente y se preguntó si podía calcular la probabilidad de éxito mediante análisis combinatorio — o simplemente jugando muchas partidas y contando los resultados.
Ulam comunicó esta idea a John von Neumann, quien entonces trabajaba en cálculos teóricos para el desarrollo de armas termonucleares en Los Alamos. La primera sugerencia documentada de usar muestreo estocástico en cálculos de transporte de radiación apareció en correspondencia entre von Neumann y Richtmyer el 11 de marzo de 1947. Poco después, Metropolis y Ulam publicaron el artículo fundacional «The Monte Carlo Method» en 1949 — el primer trabajo no clasificado en asociar el nombre «Monte Carlo» con muestreo estocástico.
Una ironía notable: un método matemático creado para diseñar el arma más terrible de la historia — la bomba termonuclear, que nunca se ha usado en conflicto — terminó beneficiando a millones a través de sus aplicaciones médicas.
¿Por Qué Monte Carlo en Física Médica?
Monte Carlo se percibe frecuentemente como «competidor» de los métodos deterministas y analíticos. En realidad, un científico pragmático debe preguntarse: ¿qué quiero lograr? ¿Cuál es el camino más eficiente? A veces la respuesta será «determinista»; otras veces, «Monte Carlo».
Existen dos realidades ineludibles. La teoría de transporte proporciona una comprensión profunda del comportamiento de campos macroscópicos de partículas — Monte Carlo no compite bien en este aspecto. Los practicantes de Monte Carlo operan mucho más como experimentalistas, descubriendo propiedades por ensayo y error. Sin embargo, cuando la complejidad aumenta, las simulaciones Monte Carlo se convierten en el enfoque más ventajoso.
El surgimiento de los aceleradores lineales de electrones (LINACs) en radioterapia impulsó directamente la necesidad de desarrollar métodos Monte Carlo para predicción de dosis y dosimetría. Los LINACs producen fotones energéticos y penetrantes que alcanzan profundamente el tejido, protegiendo la superficie y atenuándose menos rápidamente que haces de $^{60}\text{Co}$ o $^{137}\text{Cs}$.
Los electrones relativistas tienen un alcance de aproximadamente 1 cm por cada 2 MeV de energía cinética en agua. En su máximo, la deposición de energía desde un haz pencil de electrones forma una «pluma» en forma de pera con un diámetro también de aproximadamente 1 cm por 2 MeV. Estas dimensiones son comparables a los órganos tratados y a los órganos en riesgo, y es cierto hoy como lo era entonces que el método Monte Carlo proporciona la única predicción de cantidades radiométricas que satisface las exigencias de precisión de la radioterapia.
Códigos Monte Carlo: EGS, MCNP y GEANT
Tres sistemas de códigos han dominado históricamente las simulaciones Monte Carlo en física médica: EGS, MCNP y GEANT, cada uno con características y orígenes distintos.
EGS (Electron Gamma Shower)
El código EGS se originó por la necesidad de simular cascadas electromagnéticas para blindaje y detección en el SLAC. El programa SHOWER1 de Nagel, escrito en FORTRAN, simulaba electrones de alta energía (hasta 1.000 MeV) incidiendo sobre plomo, tratando seis interacciones significativas: bremsstrahlung, dispersión electrón-electrón, pérdida por ionización, producción de pares, dispersión Compton y efecto fotoeléctrico, además de dispersión múltiple de Coulomb.
SLAC publicó EGS3 en 1978, y Rogers lo empleó en publicaciones importantes desde 1982. Una contribución decisiva fue implementar una técnica del ETRAN para hacer más confiables los cálculos dependientes de electrones acortando los pasos de interacciones virtuales. Los artefactos de tamaño de paso permanecieron como desafío hasta que Bielajew y Rogers desarrollaron el algoritmo PRESTA en 1987.
Las versiones posteriores — EGS4, EGSnrc y EGS5 — abordaron progresivamente estas limitaciones. EGSnrc eliminó los artefactos de tamaño de paso y se convirtió en la referencia para dosimetría de cámaras de ionización con precisión superior al 0,1%.
MCNP (Monte Carlo N-Particle)
MCNP reivindica ser descendiente directo de los códigos escritos por los fundadores del método Monte Carlo: Fermi, von Neumann, Ulam, Metropolis y Richtmyer. Su linaje pasa por MCS (1957), MCN (1967), MCNG (1973), hasta la Versión 1 en 1977. El transporte de electrones solo se añadió en la Versión 4, en 1990 — a partir de entonces, MCNP se convirtió en un actor importante en investigación médica.
GEANT
En la última década, GEANT ha realizado contribuciones significativas y actualmente iguala al MCNP en frecuencia de uso en áreas médicas. En toda la literatura no médica, MCNP y GEANT son los códigos más citados, casi duplicando al EGS.
| Código | Origen | Transporte de Electrones | Área Principal |
|---|---|---|---|
| EGS (1978+) | SLAC / NRC Canadá | Desde EGS3 | Física médica y dosimetría |
| MCNP (1977+) | Los Alamos (LANL) | Desde Versión 4 (1990) | Ciencias nucleares y radiológicas |
| GEANT (1982+) | CERN | Desde el inicio | Física de altas energías y medicina |
| PENELOPE | España | Desde 1995 | Penetración y pérdida de energía |
| FLUKA (1964+) | CERN / INFN | Desde el inicio | Blindaje y dosimetría |
Fuente: Monte Carlo Techniques in Radiation Therapy (2nd ed., CRC Press, 2022)
Transporte de Electrones y Condensed History
El transporte de electrones requiere tratamiento especial en simulaciones Monte Carlo. Los electrones relativistas experimentan del orden de $10^6$ interacciones individuales durante su trayectoria. Simular cada interacción discreta sería computacionalmente prohibitivo.
La contribución fundacional de Martin Berger en 1963 — un artículo de 81 páginas — estableció el marco para toda la generación siguiente de físicos computacionales en Monte Carlo. Berger introdujo el método de condensed history: teorías acumulativas de dispersión condensan $10^3$ a $10^5$ eventos individuales de dispersión elástica e inelástica en eventos «virtuales» únicos, logrando aceleraciones por factores del orden de cientos.
Nelson, creador del sistema EGS, comentó: «Si hubiera conocido el trabajo de Berger, ¡quizás no habría emprendido el trabajo en EGS!» El código de Berger fue eventualmente liberado como ETRAN en 1968, aunque versiones internas existían en el NBS (hoy NIST) desde principios de los años 1960.
ETRAN generó toda una familia de códigos a través de adaptaciones en los laboratorios Sandia: EZTRAN, SANDYL, TIGER, CYLTRAN, SPHERE, ACCEPT, y finalmente el sistema ITS (Integrated TIGER Series). El transporte de electrones del ITS fue posteriormente incorporado al MCNP en la Versión 4.
Dosimetría de Cámaras de Ionización
El artículo fundacional para la aplicación de Monte Carlo a la respuesta de cámaras de ionización se atribuye a Bond et al. (1978), quienes calcularon la respuesta de cámaras en función del espesor de pared para irradiación con $^{60}\text{Co}$. Al validar el código EGS para esta aplicación, se descubrieron dificultades algorítmicas fundamentales en este régimen de baja energía.
Nahum, interesado en modelar la respuesta de cámaras de ionización, visitó el laboratorio de Rogers en la primavera de 1984. Usando EGS4, obtuvo respuestas hasta un 60% por debajo de lo esperado. En palabras de Nahum: «¿Cómo puede un cálculo que uno podría esbozar al reverso de un sobre, acertando dentro del 5%, errar en un 60% usando Monte Carlo?»
La reducción del tamaño de paso resolvió el problema, pero la búsqueda de una solución definitiva resultó en el algoritmo PRESTA. El problema subyacente era sutil: trayectorias de electrones interrumpidas en fronteras de materiales, donde las secciones eficaces cambian, generaban singularidades espurias de fluencia — descrito elegantemente por Foote y Smythe (1995).
Actualmente, el cálculo de correcciones de cámaras de ionización alcanza precisión superior al 0,1%. Para una visión completa del tema, consulte nuestra guía completa sobre técnicas de Monte Carlo en radioterapia.
Primeras Aplicaciones en Radioterapia
Las aplicaciones iniciales de Monte Carlo en radioterapia siguieron una progresión natural. El modelado de unidades de Cobalto-60 fue mencionado por primera vez en el ICRU Report #18 (1971), con trabajo más completo por Rogers et al. (1985) y Han et al. (1987). El modelado de LINACs terapéuticos fue realizado inicialmente por Petti et al. (1983) y poco después por Mohan et al. (1985).
Mackie et al. fueron pioneros del método de convolución en 1985 y generaron la primera base de datos de «kernels» o «dose-spread arrays» para uso en radioterapia en 1988 — todavía en uso hoy. El modelado de haces de electrones de LINACs médicos fue realizado por Teng et al. (1986) y Hogstrom et al. (1986).
El proyecto OMEGA (Ottawa Madison Electron Gamma Algorithm), propuesto por Mackie et al. en 1990, representó un hito: la primera propuesta de usar Monte Carlo para cálculo de dosis «del blanco del acelerador al paciente». Se adoptó un enfoque de «dividir y conquistar» — las salidas fijas de la máquina (phase-space files) servían como entradas para el cálculo específico en el paciente. Esta bifurcación generó dos industrias: el modelado de cabezal (con BEAM/EGS como el código más refinado y el artículo más citado con «Monte Carlo» en el título) y el desarrollo de algoritmos rápidos de cálculo de dosis basados en Monte Carlo, como VMC++.
Monte Carlo vs. Métodos Deterministas
El apéndice del primer capítulo presenta una demostración matemática elegante de que Monte Carlo es más eficiente que los métodos deterministas de primer orden para estimar tallies en tres dimensiones espaciales.
El transporte de partículas se describe mediante la ecuación de transporte de Boltzmann lineal:
$$\left(\frac{\partial}{\partial s} + \hat{p} \cdot \frac{\partial}{\partial x} + \mu(x,p)\right) \psi(x,p,s) = \int dx’ \int dp’ \, \mu(x,p,p’) \, \psi(x’,p’,s)$$
Donde $\psi(x,p,s)$ es la fluencia en espacio de fase, $\mu(x,p)$ la sección eficaz macroscópica total y $s$ la longitud de camino. El punto clave es que la solución involucra una integral de dimensión $N_x + N_p$ — típicamente 6 o 7 dimensiones para problemas de radioterapia.
La convergencia de los métodos deterministas obedece a $N_{cell}^{-2/D}$, donde $D$ es la dimensionalidad del espacio de fase y $N_{cell}$ el número de celdas. Monte Carlo converge según el teorema del límite central: $\sigma_{MC}(x) / \sqrt{N_{hist}}$.
Comparando las tasas de convergencia:
$$\frac{\Delta T_{MC}(x)}{\Delta T_{NMC}(x)} \propto t^{(4-D)/2D}$$
Monte Carlo es siempre más ventajoso para $D > 4$. Como los problemas de radioterapia operan en dimensión 6 o 7, Monte Carlo tiene una ventaja intrínseca sobre los métodos deterministas. Esta conclusión depende de la eficiencia relativa de las implementaciones y la forma de las funciones respuesta — para distribuciones que varían rápidamente, Monte Carlo tiende a ser aún más favorable.
Esta base teórica explica por qué, hasta 2020, se publicaron aproximadamente 900.000 artículos sobre Monte Carlo, con casi 55.000 relacionados con medicina — una contribución consistente del 10% al 20% a lo largo del tiempo. Para más detalles sobre las aplicaciones avanzadas, consulte nuestra guía completa sobre Monte Carlo en radioterapia.